* 퍼옴 링크 : http://www.math2000.co.kr/source/mathematica/InnerProduct.html

행렬과 벡터와 관련된 조작들 중에서 가장 자주 사용되고 그 사용범위가 넓은 것 중의 하나가 바로 벡터의 내적이라는 것이다. 특히, 통계나 컴퓨터 그래픽과 관련된 분야에서는 벡터의 내적은 구구단 만큼이나 기본적이고 자주 사용되는 것이라 할 수 있다.

그렇다면, 벡터의 내적이란 무엇인가? 사실 이 질문에 한마디로 간단히 대답하기는 쉽지 않다. 간단히 말하면 두 벡터에 대한 일종의 곱셈이라고 말할 수 있는데, 그렇다고 우리가 일반적으로 사용하고 있는 곱하기와는 그 의미와 조작이 차이가 있다. 이처럼 어떤 수학적 실체에 대한 의미가 알쏭달쏭할 때에는 조금 어렵기는 하겠지만, 수학적인 정의 그 자체를 곧바로 분석하는 것이 가장 좋은 방법 중의 하나라 할 수 있다. 그래서, 좀 지긋지긋하다는 느낌은 들지만 우선 벡터 내적에 대한 수학적 정의부터 알아보기로 한다.

aㆍb = |a||b|cos(각도)

먼저 우변에 적힌 식의 의미부터 생각해보자. 우변의 식을 일반적인 말로 풀어서 쓰면 'a 벡터의 크기 x b 벡터의 크기 x 두 벡터의 사잇각' 이라는 의미이다. 그리고, 이들 각각의 성분들을 계산하는 것은 고등학교 정도의 수학적 실력이면 누구나 계산해 낼 수가 있다.

그렇다면 좌변의 의미는 ? 잘 생각해보면 이것 또한 고등학교 때 배웠던 기억이 있겠지만, 일단은 기억이 안난다고 치고 다시 한 번 적어보면 다음과 같다. aㆍb 라는 것은 다음과 같은 조작을 하라는 의미이다.

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + ...

이 식에서 각 a₁과 b₂은 a 벡터와 b 벡터의 각 성분을 의미한다. 그렇다면, 위의 수식은 두 벡터의 '첫번째 성분은 첫번째 성분끼리 곱하고, 두번째 성분은 두번째 성분끼로 곱하고, n 번째 성분은 n 번째 성분끼리 곱해서 모두 더하라' 는 의미? 벡터의 내적이라는 것도 알고보니 '구구단의 총합' 에 지나지 않죠?

이제 벡터의 정의는 대충 이해한 것 같은데...(정말 이해했어?) 그렇다면, 요놈을 어디에다 써먹는단 말인가?

어떻게 써먹는가에 대한 대답은 너무나 많아서 한마디로 줄일수가 없지만, 이번 글에서 필자가 설명하고자하는 것은 벡터의 내적을 일종의 각도계로 사용하는 것이다.

각도계라니? 여기서 벡터의 내적에 대한 식을 약간 바꿔보기로 하자. 바로 다음과 같이...

http://www.math2000.co.kr/source/mathematica/Images/InnerProduct14.gif

앞에서 설명한 내용을 모두 이해한 사람은 위 수식의 우변부분은 곱하기와 더하기만 할 줄알면 누구나 계산해 낼 수 있는 것이라는 것을 알 수 있을 것이다.

따라서, 주어진 벡터를 사용해서 우변의 값을 계산하게되면 이들 두 벡터가 이루는 각에 대한 코사인 값을 알 수가 있는 것이다. 여기서 약간 머리를 굴릴줄 아는 사람이라면, 이 코사인 값을 사용하면 그 각 자체도 계산해 낼 수 있다는 것을 알 수 있을 것이다.